1. IntroductionPrimitiveÉtant donnée une fonction f définie sur un intervalle I = [x0, xn] et un réel y0, une fonction G, dérivable sur I, telle que G(x0) = y0 et G’(x) = f(x) pour tout x de I est une primitive de f. Principe de Méthode d'EulerLorsqu'on ne sait pas trouver une formule explicite de la primitive G, la méthode d'Euler permet de calculer point par point les valeurs d'une fonction affine F telle que la représentation graphique de F soit une courbe approchée de celle de G. Propriété de la dérivéeSi G est une fonction dérivable sur un intervalle I, f = G’ sa dérivée sur I et xi un réel de I. Pour tout réel h non nul et proche de 0 tel que xi + h soit dans I on a : G(xi + h) ≈ G(xi) + h G’(xi) ≈ G(xi) + h f(xi) 2. Méthode d'EulerPour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x0, xn], on divise I en n intervalles et on choisit h = . Pour la valeur initiale y0 on a F(x0) = G(x0) = y0 ce qui permet de placer le premier point A0 (x0 ; y0). Pour les n valeurs x1 = x0 + h, x2 = x1 + h…, xn = xn-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x1), F(x2)…, F(xn) de G. En effet, G est dérivable en x0 et G’(x0) = f(x0) : F(x0 + h) = F(x0) + h f(x0) soit F(x1) = y0 + hG’(x0) ≈ G(x1) ; on a y1 = y0 + h f(x0) avec y1 = F(x1) ≈ G(x1). On recommence avec x1 : F(x1 + h) = F(x1) + h f(x1) soit F(x2) = y1 + hG’(x1) ≈ G(x1) + hG’(x1) ≈ G(x2) ; on a y2 = y1 + h f(x1) avec y2 = F(x2) ≈ G(x2). Puis y3 = y2+ h f(x2) = F(x3) ≈ G(x3) Et ainsi de suite n itérations jusqu'à yn = yn-1 + h f(xn-1) = F(xn) ≈ G(xn). Représentation graphiqueOn place ensuite, par exemple avec le logiciel GéoPlan, les points A0(x0 ; y0) ; A1(x1 ; y1) ; A2(x2 ; y2) ; … ; An(xn ; yn). La courbe représentative de la fonction F, affine par intervalles, constituée des segments [A0A1], [A1A2]…, [An-1An] approche la courbe exacte (C) de G. 3. Étude de f(x) =Étant donnée la fonction f(x) = et les valeurs initiales x0 = 1 et y0 = F(x0) = , calculer les valeurs F(x1), F(x2), F(x3)… La représentation graphique de F par les segments [A0A1], [A1A2], [A2A3]… « approche » la courbe d'une primitive de f. TOUCHE X …………… Variation de l'abscisse x0 Les premières lignes de la figure GéoPlan euler.g2w contiennent les définitions de la fonction f et de sa primitive G : La fonction f(x) = a pour primitive G(x) = avec x0 = 1 et y0 = G(x0) = . 4. Étude de f(x) = 2 -
touche X : sélection de x0 pour pilotage au clavier, Condition initiale y0 = F(x0) = 0 pour x0 = 0. Dans la figure de gauche est tracé de 10 points avec GéoPlan avec un pas h = 1. Cliquer sur la figure et modifier ce pas avec les flèches de direction. La figure, ci-dessus à droite, utilise la création itérative de GéoPlan. Cliquer sur la figure et taper sur la touche S pour faire apparaître les points suivants. Diminuer le pas h avec les flèches du clavier et supprimer l'affichage des noms de points avec la combinaison de touches maj N pour un grand nombre de points. Cliquer sur la figure et taper sur la touche C pour le faire disparaître le graphe (C) de F(x) = 2 - primitive de f telle que F(0) = 0. Télécharger la figure GéoPlan gauss.g2w 5. Fonction racineÉtude de f(x) = définie sur [0, ∞[. Cliquer sur une figure, taper S pour obtenir les points suivants Télécharger la figure GéoPlan eule_rac.g2w 6. Fonction logarithmeÉtude de f(x) = définie sur ]0, ∞[. Les abscisses xn des points An doivent rester positives.
Cliquer sur une des figures, taper S pour obtenir les points suivants Télécharger la figure GéoPlan euler_ln.g2w On peut constater sur ces exemples qu'avec un pas petit, la méthode d'Euler donne facilement des approximations très précises.
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