Optimisation d'une longueur.
Sommaire1. Situation |
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ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 Page réalisée le 11/4/2007 |
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Sommaire |
GéoPlan TS |
GéoSpace TS |
GéoPlan TS |
GéoSpace TS |
GéoSpace TS |
Environnement informatique |
Objectifs et moyens possibles |
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Prérequis informatiques |
Prérequis mathématiques |
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Compétences TICE |
Compétences mathématiques |
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Les Compétences du B2I |
- L.3.6 : Dans le cadre de mes activités scolaires, je sais repérer des exemples de modélisation ou simulation et je sais citer au moins un paramètre qui influence le résultat. |
1. Situation
On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur un mur aveugle, à l'arrière de la façade d’une maison.
Sur ce mur, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluies pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.
La figure ci-dessous est un schéma d’un système d’écoulement des eaux :
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On le schématise par la figure suivante, où les distances sont exprimées en mètres :
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Sur ce plan, (MH) est la médiatrice de [AB].
Il s’agit de trouver, sur le mur de cette maison, la position du point M qui minimise la longueur totale des tuyaux.
On note Q la projection de M sur (BC) et on prend comme variable la mesure en radian de l'angle aigu BMQ = θ.
2. Travail demandé
1. À l’aide du logiciel Géoplan, ouvrir la figure « Optimisation.g2w ». Elle comprend le repère de base ainsi qu’un second repère de centre O’.
Construire le rectangle ABCD, puis définir la médiatrice de [DC] ainsi que le point libre M sur cette droite.
Définir la variable numérique s égale à la somme MA + MB + MH ainsi que e égale à la valeur en radian de l’angle BMQ, puis l’affichage de ces deux valeurs.
(Facultatif) : Représenter dans le repère d’origine O’ le point S d’abscisse e en choisissant des coordonnées adaptées.
À l’aide de la figure ainsi conçue, déterminer une valeur approchée de la mesure de l’angle BMQ en radian qui donne une somme S minimale, ainsi que la valeur approchée de cette somme.
2. On définit la fonction g : θ ® g(θ) = 2MA + MH sur l'intervalle [0, 
].
(a) on note g’ la dérivée de g. Démontrer que g’(θ) = 5 × 
.
(b) déterminer la valeur exacte de θ qui minimise la longueur des tuyaux.
3. Figure avec GéoPlan
Une possibilité de représentation est donnée par la figure ci-dessous :
Télécharger la figure GéoPlan evacuation_eaux.g2w
Voir : optimisation - figures interactives
Indications
MQ = MB cos θ, d'où MA = MB = MQ/cos θ = 5/cos θ.
BQ/MQ = tan θ, d'où BQ = MQ tan θ = 5 tan θ ; MH = QC = BC - BQ = 6 - 5 tan θ.
g(θ) = 2MA + MH = 10/cos θ + 6 - 5 tan θ = (10 + 6 cos θ - 5 sin θ)/cos θ.
La dérivée g’ est nulle si 2sin θ -1 = 0 ; sin θ = 
; θ = 
. g(θ) = 5
+ 6 ≈ 14,66
4. Figure interactive avec GéoGebra.
sclement, 11 avril 2007, Créé avec GeoGebra |
Figure géogébra avec le graphe.
5. Figure interactive avec C.a.R.
6. Figure interactive avec GéoPlan
Si vous ne visualisez pas l'image dans le cadre ci-contre, les contrôles ActiveX ne sont pas installés sur votre PC. Voir la documentation sur le CREEM
Commandes GéoPlan
Cliquer dans la figure et déplacer le point M
Touche T: tracé point par point du graphe,
Touche S pour sortir du mode trace,
Touche L : dessiner/effacer le graphe.